مقدمة

يبحث العديد من الطلاب عن حلول دقيقة للمسائل الرياضية، خاصة فيما يتعلق بالمفاهيم الهندسية مثل تعامد المتجهات. في هذا المقال، سنوضح كيفية التحقق من تعامد المتجهين u و v باستخدام الضرب القياسي، مع شرح مفصل يساعدك على فهم الطريقة بسهولة.

كيف نحدد إذا كان متجهان متعامدين؟

ما هو مفهوم تعامد المتجهات؟

تعامد المتجهين يعني أن الزاوية بينهما تساوي 90 درجة، أي أنهما يشكلان زاوية قائمة. يمكن التأكد من ذلك باستخدام عملية الضرب القياسي.

ما هو الشرط الأساسي لتعامد المتجهات؟

إذا كان ناتج الضرب القياسي لمتجهين يساوي صفرًا، فهذا يعني أنهما متعامدان.

حساب الضرب القياسي للمتجهين u و v

للتأكد مما إذا كان المتجهان u = (3, -5, 4) و v = (5, 7, 5) متعامدين، نحسب الضرب القياسي باستخدام الصيغة:

u · v = (x1 × x2) + (y1 × y2) + (z1 × z2)

تطبيق القيم في المعادلة

(3 × 5) + (-5 × 7) + (4 × 5)
= 15 – 35 + 20
= 0

بما أن ناتج الضرب القياسي يساوي 0، فهذا يعني أن المتجهين متعامدان بالفعل.

أسئلة شائعة حول تعامد المتجهات

لماذا نستخدم الضرب القياسي للتحقق من التعامد؟

لأن الضرب القياسي يقيس العلاقة بين المتجهين، وعندما يكون الناتج صفرًا، فهذا يعني أن الزاوية بينهما قائمة (90 درجة).

هل يمكن أن يكون متجهان متعامدين رغم اختلاف أطوالهما؟

نعم، التعامد يعتمد على الزاوية بين المتجهين وليس على طولهما.

ما الفرق بين الضرب القياسي والضرب الاتجاهي؟

• الضرب القياسي: يعطي عددًا حقيقيًا ويستخدم لتحديد التعامد.
• الضرب الاتجاهي: يعطي متجهًا جديدًا ويستخدم لتحديد العمودية بين المستويات.

خاتمة

بعد حساب الضرب القياسي، تأكدنا أن المتجهين u و v متعامدان. معرفة هذه القواعد تساعد الطلاب على فهم أساسيات الجبر الخطي بسهولة، مما يسهل حل العديد من المسائل الرياضية بدقة.